A Geometria Euclidiana resultou do trabalho realizado por Euclides, matemático que viveu em Alexandria por volta de 300 a.C..

 

Euclides realizou um estudo aprofundado dos conteúdos geométricos e algébricos, organizando-os de uma forma lógica, que conduziu à criação de uma das obras primas da Matemática, intitulada “Os Elementos”, composta por 13 livros.  Nesta obra encontram-se reunidos fundamentos de geometria plana (livros I a VI), quantidades – números e grandezas (livros VII a X) e geometria no espaço (livros XI a XIII), sendo a coesão caracterizada por axiomas e postulados.

​

Os cinco postulados que estão na base da geometria Euclidiana são:

​

1º Para cada dois pontos pode-se construir um segmento que os une.

2º Cada segmento pode ser indefinidamente prolongado.

3º Para cada dois pontos, pode-se construir uma circunferência centrada no primeiro e que passa pelo segundo.

4º Quaisquer dois ângulo retos são iguais.

5º Se um segmento de reta interseta dois outros segmentos de reta e se os ângulos interiores que faz com eles do mesmo lado são inferiores a dois ângulos retos, então os dois segmentos de reta, se indefinidamente prolongados, acabam por se intersetar do lado em a soma dos ângulos é inferior a dois ângulos retos.

​

O quinto postulado, dado ser mais complexo e menos intuitivo que os postulados anteriores, foi alvo de questionamento por  diferentes matemáticos, que o tentaram demonstrar. A razão de tal questionamento centrou-se no facto de não ser intuitivamente óbvio que as duas retas de facto se encontra no infinito. Como consequência dessas tentativas de demonstração do postulado, foram produzidos postulados mais simples. O mais conhecido foi apresentado pelo matemático escocês John Playfair, na sua obra “Elementos de Geometria” (1795), que em linguagem moderna pode ser formulado da seguinte forma: "por um ponto exterior a uma reta passa uma e uma só reta paralela à dada". Este enunciado ficou conhecido como “o postulado das paralelas”.

​

Na primeira metade do século XIX, começou-se a suspeitar que este postulado tivesse sido formulado de forma independente dos restantes. Os matemáticos Carl Gauss, Johann Bolyai e Nicolai Lobachewsky derivaram três situações: por um ponto não contido num reta dada passa mais do que uma, apenas uma ou nenhuma reta paralela à reta dada.

Esta suspeita relativamente à independência do Postulado das Paralelas, conduziu a que a sua negação gerasse uma geometria consistente, sem contradições, isto é, uma geometria não euclidiana, que mais tarde veio a ser designada por Geometria Hiperbólica (por Felix Klein).

A consistência desta geometria foi definida pelos matemáticos Eugenio Beltrami, Henri Poincaré e Felix Klein.

Para o trabalho desenvolvido por Escher, interessa aprofundar o modelo do Disco de Poincaré em que o plano hiperbólico é definido a partir da região limitada por uma circunferência (disco). De uma forma intuitiva, o disco é um espaço infinito em que, ao ser percorrido, com passos do mesmo tamanho, na direção do horizonte, nunca se irá chegar ao fim. Um observador externo, vê os passos a ficarem cada vez mais pequenos, mas isso resulta de uma distorção de quem olha para o plano hiperbólico com “olhos euclidianos”.

​

Passado mais de um século, Escher teve contacto com o padrão criado a partir de um triângulo hiperbólico, tal como representado na figura 1, que lhe foi enviado pelo matemático canadiano Coxeter.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

 

 

​

​

 

Esta foi uma revelação surpreendente para Escher, que o levou à criação de padrões num limite circular, criando o Circle Limit I, em 1958. Em menos de dois anos, Escher criou mais três limites circulares.

​

​

​

​

​

​

​