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17 Grupos de simetria

p1 ou p111
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Não
Não
Não
p2 ou p211
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Não
Não
180
pm ou p1m1
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Não
Sim
Não
pg ou p1g1
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Não
Não
Sim
cm ou c1m1
pmm ou p2mm
pgg ou p2gg
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Não
Sim
180

Eixos 

perpendiculares

Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Sim
Não
180

Eixos 

perpendiculares

Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Não
Sim
Sim

Eixos 

paralelos

Escher (1951),  Bird/Fish (No.84)

Escher (1952),  Sea Horse (No.88)

Escher (1949), Horse Bird (No.76)

Escher (1953), Beetle (No.91)

pmg ou p2mg
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Sim
Sim
180

Eixos 

perpendiculares

Escher (1941), Crab (No.40)

cmm ou c2mm
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Sim
Não
180º
p4
Não
p4m ou p4mm
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Sim
Não
90
p4gm ou p4g
Sim

Eixos 

perpendiculares

p3
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Não
Não
120
p6m ou p6mm
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Sim
Não
60/120/180
p6 ou p611
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Não
Não
60/120/180
p3m1
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Sim**
Não
120
p31m
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Sim*
Não
120
Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Não
90/180

Escher (1941), Shells and Starfish (No.42)

Translação
Rotação
Reflexão

Reflexão

Deslizante

Sim
Sim
Sim
90º/180º

Escher (1955), Fish (No.94)

Escher (1948), Butterfly (No.70)

Escher (1948), Fish/Duck/ Lizard (No.69)

Escher (1941), Angel-Devil (No.45)

Palácio de Alhambra, Arquitrave do Quarto Dourado

Palácio de Alhambra, Ladrilhos do Museu

Escher (n/d), Fish (10)

Palácio de Alhambra, "Torre de las Infantas"

Palácio de Alhambra, "Torre de las Infantas"

Palácio de Alhambra, "Torre de las Infantas" (representação)

Palácio de Alhambra, "Puerta del Vino" (representação)

Palácio de Alhambra, janela do "Patio de la Alberca" (representação)

Referências bibliográficas:

Blanco, M. & Harris, A. (n/d). Symmetry groups in the Alhambra.

Grünbaum, B. (2006). What symmetry groups are present in the Alhambra. Notices of AMS 53(6)

Mayor, M. & Serrano, M. (2007). Grupos de simetría en el esgrafiado segoviano. I Jornada Nacional de Investigación en Edificación

Mendoza, F. (1999). Grupos cristalográficos planos. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana 6(1)

Morandi, P. (2007). Symmetry groups: the classification of wallpaper patterns mathematics.

Fonte das imagens:

Escher, M. & Locher, J. (1971). The world of M.C. Escher. Harry N. Abrams, Inc., Publishers, New York

M.C.Esher: http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/

Francisco Martin: http://www.ugr.es/~fmartin/dvi/Alhambra1.pdf 

Vídeos:

As simetrias identificadas nos vídeos foram realizadas no programa Gecla (http://www.atractor.pt/mat/GeCla/).

*Os centros de rotação não se situam nos eixos de reflexão.

**Os centros de rotação situam-se nos eixos de reflexão.

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p2
pm
pg
cm
pmm
pmg
pgg
cmm
p4
p4m
p4gm
p3
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p3m1
p6
p6m
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